第32章 老鷹與刺蝟（1 / 1）
李默發現即使自己去得再早，圖書館裡也總是坐滿了人，他悄然來到一個小角落裡，怕再遇到上次那樣的事情。
拿出稿紙，卻無從下筆。也許正是因為四色猜想的定義很簡單吧，簡單就意味著著手點很少，很難運用成熟的定理體系進行解讀。
四色猜想就像是刺蝟一樣。
刺蝟！李默想起了圖書館地下室老人講的故事，“當時我是怎麼回答的呢？”
“如果我是這隻老鷹，我會把這隻刺蝟抓到高空，狠狠的摔下去。”李默清晰的記起了自己的答案。
“四色猜想等於刺蝟，抓到高空等於什麼？”他覺得自己快抓到問題的關鍵了，就差那麼一點點了。
“四色猜想等於刺蝟，四色猜想等於刺蝟，四色猜想等於刺蝟...”李默不停的在心中默唸，突然腦中靈光一閃。
“四色猜想等於刺蝟，那麼我可以把這隻刺蝟放在三維座標系下，那樣就能用實行精準打擊了。”
李默覺得自己已經摸到了門檻，他在拿出一張紙在上面上寫道:我們可以把四色猜想，或者說四色定理，從“地圖”等價的轉換到“三維座標系”上。圖，不嚴謹的說就是點和邊連成的圖形。在圖論中有一個定義叫平面圖，說的是一種圖可以在三維座標系上畫出，並且邊之間兩兩不相交。我們把地圖上的每個國家看成一個點，兩個國家相鄰就代表這兩個點之間存在一條邊。這樣，我們就得到了一個三維座標系，對國家染色也就變成了對座標系中的點染色，使得相鄰的點不同色。四色定理說，對於任意三維座標系中，四種顏色就足夠滿足上面的條件了。
現在要做的就是找出那個神秘的函式，大於等於五個點兩兩相連的圖，確實是不能在座標系中畫出的。首先考慮對一個給定的圖G，對他的點進行染色，使得任意一條邊的兩個頂點不同色。我們把滿足條件的最小的所需顏色數目叫做chromatic。
同時我們把圖f中包含的最大完全圖子圖的點的數目叫做cliquenumber，記為x。很容易發現，一個n個點的完全圖由於點兩兩相鄰，至少需要n種不同的顏色。
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設x(n)為M項的序列，可以表示圖論任何點陣，由DFT變換，任一X（m）的計算都需要M次複數乘法和N-1次複數加法，那麼求出NM項複數序列的X（m），即N點DFT變換大約就需要M^2次運算。當N1=10點甚至更多的時候，需要N3=10486次運算.
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由上得出，顯而易見，任意劃分一個圖形並對其每個部分染色，使得任何具有公共邊線的部分具有不同的顏色，而且只能用四種顏色，不能再多。這個命題成立。
證畢。
突破了思維障礙的李默，一口氣把證明的思路全寫了下來。難怪百年來有那麼多數學家栽倒在四色猜想面前。它就像是一個刺蝟一樣看著很弱小，其實很難找到下嘴的地方。如果找到了弱點，那麼它不過是一道有難度的證明題。
看著紙上完整的證明思路，李默心中充滿了喜悅，他覺得自己正在為人類文明的前進一小步而努力。人類是一種好奇的生物，探索未知是人類與生俱來的本能，也正是由於這種本能，人類才能從眾多生物鐘脫穎而出，建立現在的地球文明。
下一步他要做的就是把論文整理出來，對於擁有學術論文撰寫能力的李默來說，這倒成了最簡單的事了。
“嗡嗡...嗡嗡...”手機振動響了，李默拿起一看，微信上英颯颯說：“李默，線性代數課你怎麼沒來上，果老師要全員大點名了，速來。”
“糟糕”，李默一看手機上的時間，心中暗道不好。只怪他解題太入迷了，竟然忘記了還有一節線性代數課在上午。
他來不及收拾，把草紙胡亂的放進了書包裡，直奔階梯教室而去。
路上的學生已經寥寥無幾，李默邊跑邊看手機上的時間，“不行，趕不上了。”
果然來到階梯教室外，講臺上的果老師已經開始點名了。
“張宇！”，“到！”
“王春豔！”，“到！”
“蘇宇航！”，“到！”
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李默躡手躡腳的走到後門，探了一下頭，發現果老師正專心致志的對照著花名單點名。他準備悄悄的，慢慢的溜向座位。
講臺上的果老師：“李默！”
正從後門溜入的李默下意識的回答：“到！”...
“糟糕了！”
意識到不妙，李默抬起頭向講臺上看去。講臺上果老師瞪圓了眼睛盯著他，衝他招了招手說：“這位同學，你是剛來嗎，來來，請先到講臺上來。”
李默只得在同學們的注視下慢慢走向講臺。
“上我的課也敢遲到，看來我的威望降低了很多啊。”果老師陰笑著說道，“高數班的李默是吧，也不為難你，我出一道題目如果你能做得出來，既往不咎。如果答不出來，期末平時成績你就別想要了。”
說著他就怒氣衝衝的在黑板上寫道：設向量α=(a1，a2，a3)β=(b1，b2，b3)a1!=0b1!=0α^Tβ=0A=αβ^T
(1)求A^2
(2)矩陣A的特徵值和特徵向量
寫完他把手中的粉筆遞了過來，並笑著說：“請吧，李默同學。”
李默接過粉筆沉思了片刻，對著果老師點了點頭，然後在黑板上寫道：^1)A^bai2=ab^Tab^T
因為a^Tb=a1b1+a2b2+a3b3=b^Ta=0
所以duA^2=a0b^T
所以A^2為0向量
2）A
a1b1a1b2a1b3
a2b1a2b2a2b3
a3b1a3b2a3b3
|A-λE|=0
直接求行列式，常數項、λ一次項dao全都消掉；
利用a1b1+a2b2+a3b3=0λ二次項也消掉；
最後λ^3=0，特徵值全0
Ax=0
因為A各行成比例，所以秩為1
最後特徵向量表示式：x1=-b2/b1x2-b3/b1x3（b1!=0)
如行雲流水般一氣呵成，李默把粉筆遞迴了正看著黑板發呆，臉色漸漸發青的果老師，徑直回到了自己的座位。
過了許久，講臺上的果老師反應了過來，尷尬的笑了笑說：“這位名字叫做李默的同學答的很好，這次點名就到此為止了，下面開始上課。”
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