第274章 徐-陶定理（1 / 1）
“陶教授，我倒是覺得霍奇正則化並不一定需要完整的資料。之前我也瞭解過一些壓縮感知領域的文獻，這其中的關鍵點，應該在於稀疏性。”
“稀疏性嗎？能不能再展開說一說？”
“嗯……我也不知道該如何去形容。”
表達能力是林嵩的一個弱點，意識到林嵩沒法將這件事情表達得非常清晰，徐瑞便快速的思考了起來。
“林嵩，你聽聽我的理解是否正確。我們知道，在霍奇猜想中，每個上同調類是對應一個調和形式的。如果我們有物體內部的某些測量值的話，這些資料就可以看做是某個微分形式的積分……”
伴隨著徐瑞的解釋，陶轍宣也馬上跟著反應了過來。
“看來這應該屬於壓縮感知的思想。假設物體內部的拓撲變化是稀疏的，那麼重構問題就可以轉化為一個最小化的問題了。”
徐瑞和陶轍宣的回應都正好與林嵩的想法相對應，這也讓林嵩感覺到非常的開心。
除了徐瑞之外，終於又有一個能夠非常快速理解自己想法的人了。
沈紫瑤的理解能力同樣是很強的，只是並沒法達到徐瑞和陶轍宣這樣的程度，經過他們的解釋之後，這才大概理解了林嵩的想法。
“可是，傳統的壓縮感知，只能夠處理線性的問題，但這是一個微分幾何問題啊？”
面對沈紫瑤提出的疑惑，徐瑞馬上解釋道：
“紫瑤，你說的這點沒錯，不過弦上同調正好提供了線性化的工具。我們可以將非線性的拓撲問題，轉化成為線性的代數問題啊。”
“原來是這樣……在弦上同調的框架下，這的確是有可能成立的。”
聊到這裡，大家已經對接下來的研究有了一定的頭緒，心情也都變得舒暢了很多。
陶轍宣這才感覺到腹內的飢餓，終於答應徐瑞一起出去吃個飯。
但即使是在吃飯的過程中，陶轍宣依然不忘跟徐瑞他們討論各種數學問題，就像個對數學孜孜不倦的孩子一般。
吃完了飯，徐瑞便幫陶轍宣在燕大家屬院暫時安頓了下來。
正常來說，有客人過來的話，一般都會被安排到學校附近的星級酒店。
不過鑑於接下來的一段時間，陶轍宣會暫時和徐瑞的團隊一起進行研究，直接住在燕大家屬院無疑要更加的方便。
…………
陶轍宣來燕大的第二天，大家便一起開始了這個新課題的研究。
“陶教授，這次的課題，就由你去把控吧。”
“我嗎？我剛剛來這邊，對一切都不算熟悉，要不還是徐教授你來吧。”
“沒關係的，這個想法本來就是您提出來的，還是您去把控更合適一些。”
在徐瑞的再三建議下，陶轍宣還是沒有再推脫什麼。
“那我們就先從最簡單的情況開始吧。從醫學成像的角度來舉例的話，在傳統的CT中，我們會先測量X射線沿直線L的積分，然後透過反Radon變換重構f……”
陶轍宣更傾向於從醫學應用的角度開展研究，這確實是霍奇猜想的一個可能的應用方向。
因為包括腫瘤、神經元連線、血管阻塞這些醫學資訊，通常都具有較為簡單的拓撲結構。
無論它們的形狀是簡單的球體、環面，或是其他什麼複雜的形狀，從代數拓撲的角度來講，它們的複雜度都不算高。
“沒錯，在調和形式的霍奇分解中，也只有少數分量是比較顯著的。在醫學成像中，這些病變的區域，通常對應於調和形式的區域性極大值和奇異點。”
徐瑞同樣對陶轍宣的想法表示贊同，無論是數學能力還是研究經驗，他確實要比自己團隊的其他成員強出不少。
一番討論之後，他們將重點放在了“貝蒂數”這個概念上面。
這是代數拓撲學中描述拓撲空間高階動數量的一個不變數。
因為一些病變會造成空洞、隧道等情況的出現，這會對拓撲結構造成改變。
“這麼說，病變其實是會改變貝蒂數的……如果我們能夠做到對貝蒂數進行檢測的話，就有可能提前發現一些早期的病變？”
假如這樣的假設真的可以成立的話，在醫學上是一件非常有意義的事情。
因為有些重大疾病是無法在早期發現的，等到發現的時候，往往都已經到達了晚期，很難再有成功治癒的希望。
但如果能夠利用這個理論來發現早期的病變的話，意義便完全不同了。
隨後的幾天時間，他們並沒有急著開始進行實驗，而是先對理論框架進行著構造。
他們制定出了一個名為霍奇壓縮感知定理的理論，由於這個定理主要是由徐瑞和陶轍宣兩人構造出來的，這個定理便簡稱為“徐-陶定理”了。
這個定理的內容還是較為複雜的，如果簡單地去描述的話，就是將人體器官看作緊黎曼流體，進而構造出相應的微分形式。
如果這項理論正確的話，只需要測量大約十個數值，就能夠重構整個三維拓撲結構。
相比之下，傳統的CT則需要測量數百萬個數值才行，兩者之間的測量成本完全不在一個數量級之上。
就在他們準備進行物理實驗之前，沈紫瑤突然想到了一件事情。
“有一個問題，不知道我想的對不對。我覺得隨機鏈的積分測量並沒有那麼容易，在CT中，透過直線測量X射線就可以了，可是微分形式是沿任何鏈的積分，在物理上並不容易測量啊。”
聽完沈紫瑤提出的這個問題，陶轍宣只是眼神微微向上挑了一下，徐瑞則是一副若無其事的樣子。
顯然他們之前便已經考慮過了這個問題，並且想到了應對的方式了。
“紫瑤，其實我們之前在研究霍奇猜想的時候，已經研究過類似的情況了。在弦論中，開弦的量子場論，會產生某個微分形式的積分。”
“所以……你的意思是，我們可以透過物理實現某種弦，藉此來測量微分形式沿鏈的積分？”